LagrangeLagrange desproveyó al estudio de las derivadas de cualquier cosa que hablara de
fluxiones, cantidades
infinitamente pequeñas o
infinitésimos. Suyo es el término “derivada” y la notación x’ que utilizamos actualmente para designar la derivada de una función. También fueron importantes sus aportaciones a la Teoría de Números y la resolución de ecuaciones algebraicas, que sentarían las bases para la futura teoría de grupos.
Notaciones de Lagrange y´ o f´(x)
Son de la forma y = x f(y') + g(y') donde f(y') no puede ser igual y'.
Se resuelven derivando y llamando y' = p con lo que obtenemos
p = f(p) + [x f'(p) + g'(p)]p' esta ecuación es lineal y se integra tomando x como función de p.
Ecuación de
Lagrange:
y + xϕ (y')+ ψ (y’)=0.
Cauchy
En 1811,
Cauchy resolvió el problema de
Poinsot,
generalización del teorema de
Euler sobre los poliedros. Un año más tarde, publicaría una memoria sobre el cálculo de las funciones simétricas y el número de valores que una función puede adquirir cuando se permutan de todas las maneras posibles las cantidades que encierra. En 1814, apareció su memoria fundamental sobre las integrales definidas y luego abordando el teorema de
Fermat sobre los números poligonales, llegó a demostrarlo, cosa que no pudieron
Euler,
Legendre,
Lagrange, ni
Gauss. Uno de los mayores triunfos lo obtuvo dando vigor a las demostraciones de
Lagrange, ateniéndose al cálculo de ceros e infinitos y fijando las
convergencias de las series del análisis. Algunas de sus obras relacionadas con el cálculo son el
Traité de
calcul diferentiel et integral (Tratado del cálculo diferencial e integral),
Leçons sur la
aplication du calcul infinitesimal á la
géometrie (Lecciones sobre la aplicación del cálculo infinitesimal a la geometría), Sur les integrales
definies prises entre des limites
imaginaires (Sobre las integrales definidas tomadas entre límites imaginarios), Sur la
aplication du calcul des
residus á la
solution des
problèmes des
Physique matématique (Sobre la aplicación del cálculo a la resolución de problemas físico-matemáticos), y Sur un
nouveau calcul des limites (Sobre un nuevo cálculo de límites). No dejó de ser productivo intelectualmente ni al final de su vida, pues días antes de su muerte leyó en el Instituto una memoria sobre el empleo de un artificio de cálculo llamado coeficiente regulador.
Notacion de Cauchy: Dxy o Dxf(x)
Leibniz
En la historia del cálculo se encuentra la controversia de quién fue el inventor del cálculo, si
Newton o
Leibniz, algunos le dan la primicia a
Newton y otros a
Leibniz, pero se generaliza que
Newton tuvo primero las ideas y que
Leibniz las descubrió igualmente algunos años más tarde. Pero sin duda
Leibniz merece igual crédito que
Newton, por lo tanto sus aportaciones al cálculo fueron sobresalientes.
Leibniz estableció la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo diferencial; dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya
subtangente es constante. Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona (ver biografía de
Bernoulli) y de algunas otras
aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones
diferenciales.
No cabe duda que su mayor aportación fue el nombre de cálculo diferencial e integral, así como la invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual), así como su notación para las derivadas
dx/
dy, y su notación para las integrales
Notacion de Libniz: dy/dx o df(x)/dx
